⚒ Encore un point fixe

Soit \(f\)  une fonction définie, continue et décroissante sur \(\mathbb R\) . Montrer que \(f\)  admet un unique point fixe.

On considère la fonction \(g\)  définie sur \(\mathbb R\)  par \(g(x)=f(x)-x\) . Résoudre \(f(x)=x\)  est équivalent à résoudre \(g(x)=0\) .

On veut montrer que la fonction \(g\)  est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) .

Soit deux réels \(x_1\)  et \(x_2\)  tels que  \(x_1. On a alors  \(g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+x_2-x_1\) . 
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\geqslant0\)  car \(f\)  est décroissante et \(x_2-x_1>0\) . Donc \(g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)>0\) .

La fonction \(g\)  est strictement décroissante. L'équation  \(g(x)=0\)  admet donc au plus une solution. On pourra ensuite s'intéresser aux limites de la fonction \(g\)  et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'il y a bien une solution.